آیا می دانید از میان مثلث هایی با محیط برابر کدام مثلث بیشترین مساحت را داراست؟

                                       www.tizhosh.ir       

مسأله: آیا می دانید از میان مثلث هایی با محیط برابر کدام مثلث بیشترین مساحت را داراست؟

برای حل مسأله ی بالا ابتدا قضیه ی هرون را بیان می کنیم

 و سپس با استفاده از اتحادها مسأله ی بالا را حل می کنیم.

 

قضیه ی هرون:

 

در هر مثلث ABC ∆  به اضلاع

a ، b ، c مساحت s و محیط p روابط زیر برقرار است:

اثبات:

 

ابتدا ارتفاع وارد بر ضلع BC را رسم می کنیم

 و نقطه ی تقاطع ارتفاع با ضلع BC را D می نامیم و ارتفاع را با h نمایش می دهیم

 و در مثلث ADC ∆ بوجود آمده ضلع DC را با k نمایش می دهیم.

مثلث

ADB ∆ را در نظر می گیریم.

 زاویه ی D قائـمه می باشد.

بنابراین مثلث ADB ∆  یک مثلث قائم الزاویه است .

با استفاده از رابطه ی فیثاغورث داریم:

در مثلث ADC ∆ با استفاده از رابطه ی فیثاغورث:

 

 

از رابطه ی (1) و (2) می توان نتیجه گرفت:

بنابراین داریم:

با استفاده از اتحاد مربع کامل عبارت

 

را به صورت زیر باز می کنیم:

با جایگذاری در رابطه ی قبل داریم:

مساحت مثلث ABC برابر است با :

طرفین تساوی را به توان 2 می رسانیم:

با استفاده از رابطه ی (3) می توان نوشت:

طرفین رابطه (3) رابه توان می رسانیم:

و در رابطه ی قبل جایگذاری می کنیم:

ابتدا طرفین تساوی را در 4 ضرب می کنیم تا مخرج کسرها از بین بروند.

سپس با استفاده از اتحاد مزدوج طرف دوم تساوی فوق را تبدیل به ضرب می کنیم.

و با توجه به 2 اتحاد زیر:

می توان نوشت:

با استفاده از اتحاد های مزدوج زیر:

به جای طرف راست تساوی های بالا،

طرف چپ آن را در رابطه ی (4) قرار می دهیم:

از این که

 

بنابراین می توان نوشت:

حال به مسأله ی اصلی بر می گردیم.

 ما بین همه ی مثلث هایی با محیط ثابت p به دنبال مثلثی می گردیم که

 مساحت آن یعنی s بیشترین مقدار را دارد،

یعنی

 

بیشترین مقدار را داشته باشد،

طبق تساوی بالا

 

وقتی ماکسیمم می شود که:

p-2a  و p-2b  و  p-2c  با هم برابر شود

و این سه عبارت وقتی با هم برابرند که a = b = c باشد.

 یعنی مثلث متساوی الاضلاع بیشترین مساحت را دارد.

 پس جواب مسأله مثلث متساوی الاضلاع است.

/ 2 نظر / 8 بازدید
مسعود

مرسی از کمک شما.خیلی بدردم خورد

faroogh

kheili komakam kard mamnoon az mataleb khobeton