انواع واسطه های جبری و نابرابری های مربوط به آنها

ویژه تیزهوش ها    www.tizhosh.ir

 انواع واسطه های جبری و

 نابرابری های مربوط به آنها

 

در جبر برای دو عدد a و b چندین نوع واسطه یا میانگین تعریف می کنند

 که هر کدام از آنها استفاده خاص خود را دارند.

شما دانش آموزان عزیز احتمالاً با 2 واسطه اول آشنایی دارید.

الف) واسطه حسابی و یا میانگین حسابی:

 

 

 این واسطه همان میانگین جبری دو عدد a و b است که در این مقاله آن را با A نشان می دهیم. ب) واسطه هندسی و یا میانگین هندسی:

 مقدار این واسطه از فرمول بالا به دست می آید.

ج) واسطه توافقی یا میانگین توافقی:

 

مقدار این واسطه از فرمول بالا به دست می آید.

د) واسطه مربعی یا میانگین مربعی:

 مقدار این واسطه از فرمول بالا به دست می آید.

اگر فرض کنیم که a≤b  باشد، رابطه بین این 4 واسطه از قرار زیر است:

این واسطه ها و یا به عبارت دیگر میانگین ها

 هنگامی با هم برابر می شوند که دو عدد a و b با هم برابر باشند.

اثبات نابرابری

 بسیار ساده است.

و از طرفین وسطین کردن رابطه زیر

واستفاده از اتحاد مربع کامل می توان به رابطه همیشه درست رسید.

برای این نابرابری می توان تعبیر هندسی زیر را نیز بیان کرد:

 

فرض کنید M وسط A و B است یعنی در واقع M میانگین دو نقطه A و B است.

دایره گذرنده از نقاط A و B به مرکزیت M را رسم می کنیم

 و از نقطه O بر دایره C مماس رسم می کنیم و محل تماس با دایره را T می نامیم.

طول مماس TO مقدار واسطه هندسی AO و BO است.

 چون قوت نقطه O نسبت به دایره C برابر

 

  است.

 

قوت نقطه O نسبت به دایره C

 

  چرا ؟

 

برای اثبات برابری اخیر به جای OA=OM-R و OB=OM+R قرار دهید

و در نهایت در مثلث قائم الزاویه MTO از رابطه فیثاغورث زیر استفاده کنید:

بدیهی است که OM بزرگتر از OT است.

 چون OM طول وتر مثلث OTM است

 و OT طول یکی از اضلاع مثلث اخیر می باشد.

 

مثال:

با استفاده از نامساوی زیر ، اتحادهای زیر را ثابت کنید.   (الف

 

حل الف) با استفاده از نابرابری زیروقرار دادن

 

 داریم:

حل ب)  نابرابری بالا را برای 

 

  نیز می نویسیم.

از طرفی ،

 

حال طرفین این نامساوی ها را در هم ضرب می کنیم.

/ 1 نظر / 308 بازدید
صادق

دستتون درد نکنه عالی بود سایت www.tizhosh.ir رو دیدم خیلی قشنگ بود