مقدمه ای بر احتمالات پیشرفته

ویژه تیزهوش ها  www.tizhosh.ir

مقدمه ای بر احتمالات پیشرفته

1- توزیع بینم نیوتن

تجربه ای را در نظر بگیرید که شامل آزمایشهای متعدد بوده

 و نتیجه هر آزمایش دو حالت بیشتر نداشته باشد

 و غیر از این دو حالت، حالت سومی وجود نداشته باشد.

مثلاً تجربه انداختن سکه را در نظر بگیرید

که هر بار انداختن سکه، نتیجه فقط دو حالت خواهد داشت شیر یا خط.

اگر سکه را 10 بار به هوا پرتاب کنیم

 تجربه انداختن سکه شامل 10 آزمایش خواهد بود

 و هر آزمایش دو حالت خواهد داشت.

دقت کنید که هر آزمایش، مشابه آزمایش دیگر است و هیچ اختلافی بین آنها وجود ندارد.

فرض کنید کیسه ای داشته باشیم شامل 15 توپ قرمز و 17 توپ آبی،

تجربه برداشت توپ از کیسه را در نظر بگیریم

 که بخواهیم 10 آزمایش مشابه روی کیسه انجام بدهیم

 یک توپ از کیسه خارج کنیم رنگ آن را یادداشت کنیم

سپس توپ را به کیسه برگردانیم

تا آزمایش بعد که بخواهیم توپ را از کیسه خارج کنیم.

 دقت کنید که برداشت توپ ها با جایگذاری است

در غیر این صورت آزمایش ها مشابه هم نیستند

در نهایت دقت کنید که برداشت توپ از این کیسه دو حالت دارد.

تجربه بینم آن تجربه ای است که دارای خواص زیر باشد:

1- تجربه شامل n آزمایش مکرر کاملاً مشابه باشد.

2- هر آزمایش شامل دو نتیجه است که

یکی را موفقیت یا مطلوب و دیگری را

عدم موفقیت یا غیر مطلوب می نامیم.

3- احتمال موفقیت را با p نشان می دهیم

در نتیجه احتمال عدم موفقیت q=p-1 می باشد.

4-آزمایش های مکرر مستقل از هم هستند.

 

تجربه پرتاب سکه را در نظر بگیرید

 و آمدن شیر را به عنوان موفقیت در نظر بگیرید

 این سکه را 3 مرتبه به هوا پرتاب می کنیم

 تعداد 8 نتیجه ممکنه و مقادیر مربوطه آن در جدول زیر نشان داده شده است.

 

H : سکه شیر آمده باشد.

T : سکه خط آمده باشد.

( ستون متغیر تصادفی در جدول بالا تعداد شیرها را در سه پرتاب نشان می دهد.

 در توزیع بینم نیوتن ترتیب آمدن شیرها و یا ترتیب موفقیت ها اهمیتی ندارد،

بلکه فقط تعداد آن ها دارای اهمیت است.

برای مثال: اگر تعداد دو موفقیت مد نظر باشد

آن را به صورت

 

نمایش می دهند.)

در جدول فوق با متغیر تصادفی بینم نیوتن آشنا می شویم که عبارت است از:

تعداد موفقیت در n آزمایش.

چون آزمایش ها مستقل از هم هستند و دارای احتمال برابر

½  هستند لذا:

به همین ترتیب هر یک از سایر نتایج دارای احتمال 

 خواهند بود

ولی احتمال آنکه دو شیر در 3 پرتاب نمایان شود  ⅛  نخواهد بود.

نماد دیگری که برای توزیع بینم نیوتن استفاده می شود( b(x:n,p است.

 که در آن P احتمال موفقیت در یک آزمایش است،

 n تعداد آزمایش است و x تعداد موفقیت در n آزمایش می باشد.

 حال فرمولی کلی برای ( b(x:n,p ارائه می دهیم، سپس آن را توضیح می دهیم.

 

اگر توزیع بینم نیوتن منجر به موفقیت با احتمال P و عدم موفقیت با احتمال q=1-p گردد،

 در اینصورت توزیع احتمال x بار موفقیت در n آزمایش مستقل به صورت زیر بیان می گردد.

چون x بار در n آزمایش می خواهیم موفق باشیم

در نتیجه در n-x آزمایش دیگر با عدم موفقیت روبه رو خواهیم بود

 و چون آزمایش ها مستقل از یکدیگر هستند می توان آنها را در هم ضرب کرد.

تعداد حالات انتخاب x خانه از n خانه فوق

 

است.

تاسی را 5 بار پرتاب می کنیم،

 احتمال اینکه عدد 2 دقیقاً در سه بار پرتاب نشان داده شود چقدر است؟

احتمال موفقیت در هر یک از 5 آزمایش مستقل 1/6 و احتمال عدم موفقیت 5/6 است.

رو آمدن 2 در اینجا به عنوان موفقیت تلقی شده است، در نتیجه:

         داده های مساله:

 

یک تیم فوتبال0/9 از پنالتی های خود را تبدیل به گل می کند،

 احتمال اینکه این تیم 4 پنالتی از 5 پنالتی آخر خود را تبدیل به گل کند چقدر است؟

 

داده های مساله:     x=4   ,   p=0/9    ,    q=0/1    ,   n=5 

 

←  در خانواده ای احتمال پسردار شدن 2 برابر احتمال دختردار شدن است.

 اگر این خانواده دارای 10 فرزند باشد،

 به چه احتمالی تعداد پسرهای این خانواده بیشتر از 8 تا است؟

احتمال اینکه این خانواده بیشتر از 8 تا پسر داشته باشد:

/ 0 نظر / 35 بازدید